1.$F(s) = \frac{4}{s(s+5)}$

根据拉普拉斯变换的定义，对于函数 $f(t)$ 的拉普拉斯变换 $F(s)$，其反变换为：

$$f(t) = \frac{1}{2\pi i} \lim_{T \to \infty} \int_{c - iT}^{c + iT} F(s) e^{st} ds$$

其中 $c$ 是一个足够大的实数，使得积分路径在所有奇点的左侧。

对于本题，$F(s) = \frac{4}{s(s+5)}$，我们需要找到 $F(s)$ 的极点。

$$F(s) = \frac{4}{s(s+5)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+5}$$

$$\Rightarrow A(s+5) + Bs = 4$$

令 $s = 0$，则 $A = 4/5$，令 $s = -5$，则 $B = -4/5$。因此，

$$F(s) = \frac{4}{s(s+5)} = \frac{4/5}{s} - \frac{4/5}{s+5}$$

因为 $F(s)$ 有两个简单极点 $s = 0$ 和 $s = -5$，所以反变换为：

$$f(t) = \frac{4}{5} \left[1 - e^{-5t}\right]$$

因此，$$\mathcal{L}^{-1}{\frac{4}{s(s+5)}} = \frac{4}{5} \left[1 - e^{-5t}\right]$$

因为 $\frac{4}{s(s+5)}$ 的拉普拉斯反变换为 $\frac{4}{5} \left[1 - e^{-5t}\right]$。

2.$F(s) = \frac{s+1}{(s+2)(s+3)}$

对 $f(s)$ 进行部分分式分解，有：

$$f(s) = \frac{s+1}{(s+2)(s+3)} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{s+3}$$

通分后，得到：

$$s+1 = A(s+3) + B(s+2)$$

令 $s=-2$，则 $A = -1$；令 $s=-3$，则 $B = 2$。因此，

$$F(s) = \frac{s+1}{(s+2)(s+3)} = \frac{-1}{s+2} + \frac{2}{s+3}$$

利用拉普拉斯变换的线性性，有：

$$\mathcal{L}^{-1}{f(s)} = \mathcal{L}^{-1}[{\frac{-1}{s+2}} +{\frac{2}{s+3}}]$$

根据拉普拉斯变换的定义和表格，有：

$$\mathcal{L}^{-1}{\frac{1}{s+a}} = e^{-at}u(t)$$

因此，$f(s)$ 的拉普拉斯反变换为：

$$\mathcal{L}^{-1}{f(s)} = \mathcal{L}^{-1}{{\frac{-1}{s+2}} +{\frac{2}{s+3}}}=-e^{-2t}+2e^{-3t}$$

有二重根

$ F(s) = \frac{s}{(s+1)^2(s+2)} = \frac{A1}{(S+1)^2}+\frac{A2}{S+1}+\frac{A3}{S+2} $

$ A_{1}=(s+1)^2F(s)|_{s=-1} =-1 $

$ A_{2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{s}{s+2})|_{s=-1 }$

$ =\frac{s’(s+2)-s(s+2)’}{(s+2)^2}|_{s=-1}=2 $

$ A_{3}=(s+1)^2F(s)|_{s=-1} =-1 $

$ \therefore F(s)=-\frac{1}{(s+1)^2} +2·\frac{1}{s+1} -2·\frac{1}{s+2} $

$ \therefore f(t)=-te^{-t}+2e^{-t}-2e^{-2t} $

共轭复根

$F(s) = \frac{s^2+5s+2}{(s+2)(s^2+2s+2)} = \frac{k}{s+2} + \frac{as+b}{s^2+2s+2}$

$ k=(s+2)F(s)|_{s=-2} =-2 $

$\therefore F(s) = -2·\frac{1}{s+2} + \frac{as+b}{s^2+2s+2} = 原式$

$ F(s) = -2·\frac{1}{s+2} + \frac{3(s+1)}{(s+1)^2+1}$

$ f(t) = -2e^{-2t}+3e^{-t}\cos t $

最后修改于 Sun, 05 Mar 2023