Inverse Laplace transform
1.$F(s) = \frac{4}{s(s+5)}$ #
根据拉普拉斯变换的定义,对于函数 $f(t)$ 的拉普拉斯变换 $F(s)$,其反变换为:
$$f(t) = \frac{1}{2\pi i} \lim_{T \to \infty} \int_{c - iT}^{c + iT} F(s) e^{st} ds$$
其中 $c$ 是一个足够大的实数,使得积分路径在所有奇点的左侧。
对于本题,$F(s) = \frac{4}{s(s+5)}$,我们需要找到 $F(s)$ 的极点。
$$F(s) = \frac{4}{s(s+5)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+5}$$
$$\Rightarrow A(s+5) + Bs = 4$$
令 $s = 0$,则 $A = 4/5$,令 $s = -5$,则 $B = -4/5$。因此,
$$F(s) = \frac{4}{s(s+5)} = \frac{4/5}{s} - \frac{4/5}{s+5}$$
因为 $F(s)$ 有两个简单极点 $s = 0$ 和 $s = -5$,所以反变换为:
$$f(t) = \frac{4}{5} \left[1 - e^{-5t}\right]$$
因此,$$\mathcal{L}^{-1}{\frac{4}{s(s+5)}} = \frac{4}{5} \left[1 - e^{-5t}\right]$$
因为 $\frac{4}{s(s+5)}$ 的拉普拉斯反变换为 $\frac{4}{5} \left[1 - e^{-5t}\right]$。
2.$F(s) = \frac{s+1}{(s+2)(s+3)}$ #
对 $f(s)$ 进行部分分式分解,有:
$$f(s) = \frac{s+1}{(s+2)(s+3)} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{s+3}$$
通分后,得到:
$$s+1 = A(s+3) + B(s+2)$$
令 $s=-2$,则 $A = -1$;令 $s=-3$,则 $B = 2$。因此,
$$F(s) = \frac{s+1}{(s+2)(s+3)} = \frac{-1}{s+2} + \frac{2}{s+3}$$
利用拉普拉斯变换的线性性,有:
$$\mathcal{L}^{-1}{f(s)} = \mathcal{L}^{-1}[{\frac{-1}{s+2}} +{\frac{2}{s+3}}]$$
根据拉普拉斯变换的定义和表格,有:
$$\mathcal{L}^{-1}{\frac{1}{s+a}} = e^{-at}u(t)$$
因此,$f(s)$ 的拉普拉斯反变换为:
$$\mathcal{L}^{-1}{f(s)} = \mathcal{L}^{-1}{{\frac{-1}{s+2}} +{\frac{2}{s+3}}}=-e^{-2t}+2e^{-3t}$$
3.$F(s) = \frac{s}{(s+1)^2(s+2)}$ #
有二重根
$ F(s) = \frac{s}{(s+1)^2(s+2)} = \frac{A1}{(S+1)^2}+\frac{A2}{S+1}+\frac{A3}{S+2} $
$ A_{1}=(s+1)^2F(s)|_{s=-1} =-1 $
$ A_{2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{s}{s+2})|_{s=-1 }$
$ =\frac{s’(s+2)-s(s+2)’}{(s+2)^2}|_{s=-1}=2 $
$ A_{3}=(s+1)^2F(s)|_{s=-1} =-1 $
$ \therefore F(s)=-\frac{1}{(s+1)^2} +2·\frac{1}{s+1} -2·\frac{1}{s+2} $
$ \therefore f(t)=-te^{-t}+2e^{-t}-2e^{-2t} $
4.$F(s) = \frac{s^2+5s+2}{(s+2)(s^2+2s+2)}$ #
共轭复根
$F(s) = \frac{s^2+5s+2}{(s+2)(s^2+2s+2)} = \frac{k}{s+2} + \frac{as+b}{s^2+2s+2}$
$ k=(s+2)F(s)|_{s=-2} =-2 $
$\therefore F(s) = -2·\frac{1}{s+2} + \frac{as+b}{s^2+2s+2} = 原式$
$ F(s) = -2·\frac{1}{s+2} + \frac{3(s+1)}{(s+1)^2+1}$
$ f(t) = -2e^{-2t}+3e^{-t}\cos t $